伝達関数入門

伝達関数に基づく制御のYouTube動画

伝達関数（でんたつかんすう，Transfer Function）とは制御工学において最も基本となる制御対象の表現形式・システムの表現形式の一つであり，主に周波数特性で解析する際に利便性の高い入出力特性の表現となります。伝達関数ベースの制御は古典制御と呼ばれます。系の安定性を解析するにはナイキストの安定判別法、ラウス・フルビッツの安定判別法などがあります。PID制御もこの範囲の話になります。

伝達関数とラプラス変換

ラプラス変換を使うことでラプラス領域で制御系を扱うことができ、設計や解析の見通しが良くなります。伝達関数は入力信号と出力信号のラプラス変換がそれぞれ与えられたとき、その比が与えられた入出力に対する伝達関数となります。個々の要素について伝達関数が与えられると、それらを複合したシステムの伝達関数も考えることができます。応答の計算や導出には部分分数分解が重要になります。

ラプラス変換

信号をラプラス変換することで時間領域からラプラス領域での演算になります。時間領域で振る舞いを考える場合は、畳み込み積分を扱う必要があるのに対して、ラプラス領域では四則演算で物事が進みます。最後に、得られた信号を逆ラプラス変換（ラプラス逆変換）によって時間領域に戻すことで応答を調べることができます。

ボード線図・ナイキスト線図

ゲイン線図と位相線図からなるボード線図（Bode diagram）は、周波数領域での設計や解析で利用されます。ループ整形によって開ループ伝達関数の設計をする場合にもボード線図が使われます。ボード線図とは別のアプローチとして複素平面で周波数特性を表記するナイキスト線図により解析をする場合もあります。

伝達関数の極と零点

極と零点は系の動特性や安定性を表現します。分母多項式を零とした特性方程式を考えるとその根が極となります。n次のシステムではn個の極（重複もある）が含まれます。他方、零点は伝達関数の分子多項式を零とした式においてその根に相当します。極の実部が全て負であれば安定です。零点の実部が負の場合、その零点のことを安定零点、正の場合、その零点を不安定零点と呼びます。